第34章 平行宇宙4
第34章 平行宇宙4
第三层平行宇宙是什么样的
在讨论平行宇宙时，我们必须先区分考察物理理论的两种方法：从外面开始，研究数学基本方程的数学家所持的，也称为“鸟的视角”；生活在方程所描述世界里的观察者所持的内部观点，也称为“青蛙视角”。以鸟的视角来看，第三层平行宇宙非常简单：只用一个波函数就能描述，并且它随时间平滑而确定地演化，没有任何分裂或平行。由整个演化的波函数描述的抽象量子世界内部，包含了大量平行的经典故事线（图1.5），它们一刻都不停的分裂、合并，经典理论无法描述的许多量子现象也是如此。然而，以青蛙视角来看，每个观察者只能感知全部真相的一小块碎片：她只能看见自己所在的哈勃体积（第一层），退相干使她无法感知到自己的第一层平行副本。当她被问问题时，做出快速的决定并回答时，大脑内神经元水平上的量子效应分出多重结果。从鸟的视角看，她唯一的过去分叉出多重的未来。而从青蛙视角来看，她的每个副本都不知道其他人的存在，所以这个量子分叉在她看来不过是一次小小的随机事件。实际上，后来出现了拥有完全相同的记忆的无数个副本，直到她回答了问题。
存在多少个不同的平行宇宙
尽管听起来很奇怪，图1.5说明完全相同的情况也发生在第一层平行宇宙中，唯一的区别只在于她的副本在什么地方（要么住在以往旧的三维空间的其他地方，要么住在无限维的希尔伯特空间的其他的量子分支）。在这个意义上，第三层不比第一层奇怪多少。实际上，如果物理理论是幺正的，那么暴胀中的量子涨落，通过随机过程并没有产生唯一的初始条件，而是同时产生了所有可能的初始条件，形成量子叠加，之后退相干再使这些涨落在分立的量子分支中按照本来的经典方式演变。这些量子涨落的遍历本性意味着，一个给定的第三层哈勃体积（如图1.3所示在不同的量子分支之间）中结果的分布，和你通过取样一个量子分支中不同的哈勃体积（第一层）得到的分布是一致的。如果物理常数，空间维度等再第二层中都可以改变，那么它们在第三层的平行量子分支中也是各不相同的。原因在于，若物理是幺正的，自发的对称性破缺过程就不会产生唯一（虽然是随机的）结果，而是产生所有结果的叠加，并迅速退相干形成各个独立的第三层分支。简而言之，第三层平行宇宙如果存在，也没有在第一层和第二层上增加任何新东西——它不过是它们更难以区分的复制品罢了，同样的事情在各个量子分支中一遍遍重复。这种重复显然不符合奥卡姆（occam）剃刀原理，不过要是为了摆脱第三层宇宙，硬假设一个还没看到的非幺正效应出来，奥卡姆也满意不到哪里去。
关于埃弗雷特的平行宇宙一度激烈的争论，在发现了一种恰好差不多大，但争议较少的多重宇宙之后，突然销声匿迹了。这让人不禁回想起20世纪20年代中著名的夏普利一柯蒂斯（shapley-cur—tis）争论：到底是有大量的星系（在那时的标准来看就相当于平行宇宙）还是只有一个。考虑到现在的研究已经转移到其他星系团、超星系团，甚至哈勃体积，再来看这场争论，不过是茶杯中掀起的一场风暴罢了。事后来看，无论是夏普利一柯蒂斯争论还是埃弗雷特争论，这些争论的产生无疑都是离奇的，反映了我们对扩展视界的本能抗拒。
一个普遍的反对意见就是，不断的分叉会使宇宙的数目随时间以指数方式增长。然而，宇宙数目n也很可能保持常数。这里“宇宙”数目n，是指在一个给定时刻，以青蛙视角来看（以鸟的视角来看当然只有一个）不可区分的宇宙数目，也就是，宏观上不同的哈勃体积。虽然明显存在大量的宇宙（诸如行星运动到随机的新位置，和某人结婚等），但可以肯定n是有限的——即使我们迂腐地在量子水平上区分出哈勃体积，过分谨慎的结果是，在108开温度以下也“只”有10^(10^115)个。从鸟的视角看到的波函数平滑幺正的演化，在一个观察者的青蛙视角看来，相当于不停播放这n个经典宇宙快照的幻灯片。现在你处于宇宙a——你正在读这句话的宇宙。现在你处于宇宙b——你正在阅读另一句话的宇宙里。不同的是，宇宙b存在一个与宇宙a一模一样的观测者，仅多了几秒钟额外的记忆。在图1.5中，我们的观察者先处于左边那张画板所描述的宇宙中，但现在平滑的接入两个不同的宇宙，就像刚才的b接上a，无论在两个中哪一个宇宙中，她都不会意识到另一个的存在。想象画出一系列分立的点，每点对应一个可能的宇宙，再用箭头标出以青蛙视角来看，这些点是怎样连在一起的。每个点可以只指向唯一一个点，或者指向好几个点。同样，好几个点也可以指向同一个点，因为可以有很多方法达到同一个结果。所以第3层平行宇宙不仅包含分裂的分支，还同样包含合并的分支（图1.6）。
图1.6
遍历性意味着，第三层平行宇宙的量子态在空间平移下是不变的，和时间平移一样，是一个幺正操作。如果在时间平移下也是不变的（可以通过这样实现：构建一组无限多量子态的叠加，其中每个态是同一量子态的不同时间平移态，这样不同的时间发生的大爆炸就在不同的量子分支中），那么宇宙数目就会自动保持常数。所有可能的宇宙快照在每时每刻都存在，而时间的推移不过是观看者眼中的景象——这是在科幻小说《排列城》（permutation city）中提出的想法，而后被多伊奇（deutsch）、巴布尔（barbour）等人发展了。
两种世界观
经典力学如何从量子力学中涌现出来，有关这个问题的争论仍在继续，退相干的发现表明，这远比让普朗克常数h趋于零更为复杂。而就像图1.7所揭示的那样，这还只是巨大疑团中的一个小问题。确实，关于量子力学解释的无止境争论——甚至更广泛的关于平行宇宙的课题——在某种意义上都只是冰山一角。
图1.7
正如在科幻讽刺电影《银河系漫游指南》（hitchhiker's guideto the galaxy）中说的那样，已经发现答案就是“42”，而困难在于找出真正的问题。关于平行宇宙的问题，就像关于实在的疑问一样深刻，但除此之外，还有一个更深刻的问题：就是关于物理实在和数学的地位问题。这个问题存在两种都有道理但截然相反的观点，这一分歧的形成甚至可以追溯到柏拉图和亚里士多德时代，问题是：谁才是正确的呢。
亚里士多德模型：主观感觉上的青蛙视角是真实的物理，而鸟的视角和它所有的数学语言都不过是一种有用的近似。
柏拉图模型：鸟的视角（数学结构）才是真正的“真实”，而青蛙视角和我们用来描述它的所有人类语言，都只是对我们主观感觉的有效近似。
哪个更为基本——青蛙视角还是鸟的视角，人类语言还是数学语言。你的回答将决定你怎样看待平行宇宙。如果你倾向于柏拉图模型，你会觉得平行宇宙是很自然的，我们感觉第三层平行宇宙是“不可思议的”，只是反映了青蛙和鸟的视角的极端不同。我们破坏了对称，把后者当作不可思议的，只是因为我们从小就被灌输了亚里士多德模型，那时我们还远没有接触数学——柏拉图观点是后天培养出来的品位。
在第二种（柏拉图）模型下，任何物理学最终都归结为一个数学问题，一个拥有无穷智慧的数学家，给他宇宙的基本方程，原则上他就能计算出青蛙视角，也就是，宇宙中会包含怎样的有自我意识的观察者，他们可以感知到什么，他们会发明何种语言来向同类描述他们的感知。换句话说，在图1.7中，树的顶部是“大统一理论”（toe），其公理都是纯数学的，而英语中的假设，是指可以被推导出来，从而是多余的解释。而另一方面，在亚里士多德模型中绝不会有toe的存在，我们终究只是用一些语言表述来解释另一些语言表述——这被称为无限回归问题。
第四层：终极集合
即其他数学结构，具有不同的基本物理方程
假设你认同了柏拉图模型，相信在图1.7的顶部确实存在一个toe——只是我们还没找到正确的方程。那么就会遇到这样一个令人困窘的问题，也是惠勒教授所强调的：为什么是这些特殊的方程，而不是别的。就让我们来探索数学的民主思想，由此得到其他方程所支配的宇宙也同样真是。这就是第四层平行宇宙。不过，我们先要消化另外两个想法：数学结构的概念，以及物理世界也是一个数学结构的观点。
数学结构是什么
很多人认为，数学就是我们在学校里学的一堆用来操纵数字的小技巧。但大多数数学家对他们所研究的领域持有不同观点。他们研究更抽象的物体，例如函数、集合、空间和算符，并试图证明它们之间某种关系的定理。事实上，现代数学的文章如此抽象，以至于你在里面能找到的唯一的数字就是页码。一个十二面体能和复数集合有什么相同之处。尽管数学结构明显过剩，但它们在20世纪显现出惊人的基本统一性：所有数学结构都只是同一个东西——所谓形式系统（for—mal system）的特殊情况。
图1.8
形式系统包括一些抽象的符号，以及操纵它们的规则，具体规定新的符号（称为定理）应该怎样用已有的符号（称为公理）推导出来。这一历史性的进步，是解构主义的一种表现形式，因为它去掉了传统上赋予数学结构的所有意义和解释，只留下它们最根本的抽象关系。结果，现在计算机能够不借助任何关于空间是什么的物理直觉，直接证明几何定理。
图1.8显示了某些最根本的数学结构和它们之间的关系。虽然这棵学科树的延伸是不确定的，但它仍然说明数学结构一点都不模糊。它们就在“那里”，从某个意义上来说数学家发现了它们，而不是创造了它们，沉思的外星文明也会发现同样的结构（不管是由人、计算机，还是外星文明来证明，这个定理都同样成立）。
第四层平行宇宙存在的证据
我们以猜测程度越来越高的顺序描述了四层平行宇宙，那么为什么要相信第四层的存在呢。逻辑上，这主要依赖两个独立的假设：
假设1：物理世界（特别是第四层平行宇宙）是一个数学结构。
假设2：数学民主性：所有数学结构在同一个意义上都在“那里”。
在一篇著名的评论中，魏格纳（1967）写道“数学对自然科学的帮助大得神乎其神”，而“这并没有理性的解释”。这个论点可以被看作是对假设1的支持：数学在描述物理世界上的便利，正是后者本身就是数学结构的自然结果，而我们正逐渐认识到这一点。我们现有物理理论中的许多近似理论很成功，原因在于，简单的数学结构能够较好地近似描述sas怎样感知更复杂的数学结构。换句话说，我们成功的理论并不是模拟物理的数学，而是模拟数学的数学。魏格纳的评论并不是建立在侥幸的巧合基础上，在他提出这个观点的数十年后，自然中更多的数学规则被发现，包括粒子物理的标准模型。
支持假设1的第二个论据就是，抽象数学是如此的一般，以至于任何可用纯形式术语（不依赖模糊的人类语言）定义的toe也必定是数学结构，例如，一个包含一组不同类型的实体（比如，用词语表示）以及它们之间的关系（用附加词语表示）的toe，就是一个集合理论模型，而且我们可以一般地找到它所在的规范体系。
这个论据同样使假设2更令人信服，因为它意味着，任何可能想到的平行宇宙理论都可以在第四层被描述。第四层平行宇宙，被泰格马克（1997）称为“终极集合”，因为它包含了所有的集合，从而终结了平行宇宙的层次，不可能再有第五层。考虑一个数学结构的集合也没有增加新内容，因为它只不过是另一个数学结构。考虑另一个经常被讨论的观点，即，宇宙是一个计算机模拟吗。这个想法常在科幻小说中出现，并且实质上也被相信阐述过。数字计算机的信息内容是一串比特，比如“1001011100111001…”，虽然很长但仍有限，等价于一个很大但有限的整数n用二进制写出来。计算机的信息处理就是将一个记忆态变成另一个的确规则（反复应用），所以在数学上就是一个函数f，反复地将一个整数映射到另一个上去：
ni→f（n）i→f（f（n））i→…
换句话说，即使是最复杂的计算机模拟，也只是一个数学结构的特殊情况，包含在第四层多元宇宙里（顺带一提，迭代连续函数，而不是整数函数，能形成分形）。
假设2的另一个吸引人的特性在于，目前，只有它唯一回答了惠勒教授的问题：为什么是这些特殊的方程，而不是别的。让宇宙随着所有可能方程的曲调而起舞，一劳永逸地解决了微调问题，即使是在基本方程层次：虽然很大数学结构都是死的，而且不包含sas们，不能形成sas们需要的复杂性、稳定性和可预测性，但我们当然以100%的概率住在能支持生命的数学结构中。由于这个选择效应，对问题“到底是什么把活力注入方程，使宇宙能被其描述”的答案，就是“你，sas。”
(本章完)
第三层平行宇宙是什么样的
在讨论平行宇宙时，我们必须先区分考察物理理论的两种方法：从外面开始，研究数学基本方程的数学家所持的，也称为“鸟的视角”；生活在方程所描述世界里的观察者所持的内部观点，也称为“青蛙视角”。以鸟的视角来看，第三层平行宇宙非常简单：只用一个波函数就能描述，并且它随时间平滑而确定地演化，没有任何分裂或平行。由整个演化的波函数描述的抽象量子世界内部，包含了大量平行的经典故事线（图1.5），它们一刻都不停的分裂、合并，经典理论无法描述的许多量子现象也是如此。然而，以青蛙视角来看，每个观察者只能感知全部真相的一小块碎片：她只能看见自己所在的哈勃体积（第一层），退相干使她无法感知到自己的第一层平行副本。当她被问问题时，做出快速的决定并回答时，大脑内神经元水平上的量子效应分出多重结果。从鸟的视角看，她唯一的过去分叉出多重的未来。而从青蛙视角来看，她的每个副本都不知道其他人的存在，所以这个量子分叉在她看来不过是一次小小的随机事件。实际上，后来出现了拥有完全相同的记忆的无数个副本，直到她回答了问题。
存在多少个不同的平行宇宙
尽管听起来很奇怪，图1.5说明完全相同的情况也发生在第一层平行宇宙中，唯一的区别只在于她的副本在什么地方（要么住在以往旧的三维空间的其他地方，要么住在无限维的希尔伯特空间的其他的量子分支）。在这个意义上，第三层不比第一层奇怪多少。实际上，如果物理理论是幺正的，那么暴胀中的量子涨落，通过随机过程并没有产生唯一的初始条件，而是同时产生了所有可能的初始条件，形成量子叠加，之后退相干再使这些涨落在分立的量子分支中按照本来的经典方式演变。这些量子涨落的遍历本性意味着，一个给定的第三层哈勃体积（如图1.3所示在不同的量子分支之间）中结果的分布，和你通过取样一个量子分支中不同的哈勃体积（第一层）得到的分布是一致的。如果物理常数，空间维度等再第二层中都可以改变，那么它们在第三层的平行量子分支中也是各不相同的。原因在于，若物理是幺正的，自发的对称性破缺过程就不会产生唯一（虽然是随机的）结果，而是产生所有结果的叠加，并迅速退相干形成各个独立的第三层分支。简而言之，第三层平行宇宙如果存在，也没有在第一层和第二层上增加任何新东西——它不过是它们更难以区分的复制品罢了，同样的事情在各个量子分支中一遍遍重复。这种重复显然不符合奥卡姆（occam）剃刀原理，不过要是为了摆脱第三层宇宙，硬假设一个还没看到的非幺正效应出来，奥卡姆也满意不到哪里去。
关于埃弗雷特的平行宇宙一度激烈的争论，在发现了一种恰好差不多大，但争议较少的多重宇宙之后，突然销声匿迹了。这让人不禁回想起20世纪20年代中著名的夏普利一柯蒂斯（shapley-cur—tis）争论：到底是有大量的星系（在那时的标准来看就相当于平行宇宙）还是只有一个。考虑到现在的研究已经转移到其他星系团、超星系团，甚至哈勃体积，再来看这场争论，不过是茶杯中掀起的一场风暴罢了。事后来看，无论是夏普利一柯蒂斯争论还是埃弗雷特争论，这些争论的产生无疑都是离奇的，反映了我们对扩展视界的本能抗拒。
一个普遍的反对意见就是，不断的分叉会使宇宙的数目随时间以指数方式增长。然而，宇宙数目n也很可能保持常数。这里“宇宙”数目n，是指在一个给定时刻，以青蛙视角来看（以鸟的视角来看当然只有一个）不可区分的宇宙数目，也就是，宏观上不同的哈勃体积。虽然明显存在大量的宇宙（诸如行星运动到随机的新位置，和某人结婚等），但可以肯定n是有限的——即使我们迂腐地在量子水平上区分出哈勃体积，过分谨慎的结果是，在108开温度以下也“只”有10^(10^115)个。从鸟的视角看到的波函数平滑幺正的演化，在一个观察者的青蛙视角看来，相当于不停播放这n个经典宇宙快照的幻灯片。现在你处于宇宙a——你正在读这句话的宇宙。现在你处于宇宙b——你正在阅读另一句话的宇宙里。不同的是，宇宙b存在一个与宇宙a一模一样的观测者，仅多了几秒钟额外的记忆。在图1.5中，我们的观察者先处于左边那张画板所描述的宇宙中，但现在平滑的接入两个不同的宇宙，就像刚才的b接上a，无论在两个中哪一个宇宙中，她都不会意识到另一个的存在。想象画出一系列分立的点，每点对应一个可能的宇宙，再用箭头标出以青蛙视角来看，这些点是怎样连在一起的。每个点可以只指向唯一一个点，或者指向好几个点。同样，好几个点也可以指向同一个点，因为可以有很多方法达到同一个结果。所以第3层平行宇宙不仅包含分裂的分支，还同样包含合并的分支（图1.6）。
图1.6
遍历性意味着，第三层平行宇宙的量子态在空间平移下是不变的，和时间平移一样，是一个幺正操作。如果在时间平移下也是不变的（可以通过这样实现：构建一组无限多量子态的叠加，其中每个态是同一量子态的不同时间平移态，这样不同的时间发生的大爆炸就在不同的量子分支中），那么宇宙数目就会自动保持常数。所有可能的宇宙快照在每时每刻都存在，而时间的推移不过是观看者眼中的景象——这是在科幻小说《排列城》（permutation city）中提出的想法，而后被多伊奇（deutsch）、巴布尔（barbour）等人发展了。
两种世界观
经典力学如何从量子力学中涌现出来，有关这个问题的争论仍在继续，退相干的发现表明，这远比让普朗克常数h趋于零更为复杂。而就像图1.7所揭示的那样，这还只是巨大疑团中的一个小问题。确实，关于量子力学解释的无止境争论——甚至更广泛的关于平行宇宙的课题——在某种意义上都只是冰山一角。
图1.7
正如在科幻讽刺电影《银河系漫游指南》（hitchhiker's guideto the galaxy）中说的那样，已经发现答案就是“42”，而困难在于找出真正的问题。关于平行宇宙的问题，就像关于实在的疑问一样深刻，但除此之外，还有一个更深刻的问题：就是关于物理实在和数学的地位问题。这个问题存在两种都有道理但截然相反的观点，这一分歧的形成甚至可以追溯到柏拉图和亚里士多德时代，问题是：谁才是正确的呢。
亚里士多德模型：主观感觉上的青蛙视角是真实的物理，而鸟的视角和它所有的数学语言都不过是一种有用的近似。
柏拉图模型：鸟的视角（数学结构）才是真正的“真实”，而青蛙视角和我们用来描述它的所有人类语言，都只是对我们主观感觉的有效近似。
哪个更为基本——青蛙视角还是鸟的视角，人类语言还是数学语言。你的回答将决定你怎样看待平行宇宙。如果你倾向于柏拉图模型，你会觉得平行宇宙是很自然的，我们感觉第三层平行宇宙是“不可思议的”，只是反映了青蛙和鸟的视角的极端不同。我们破坏了对称，把后者当作不可思议的，只是因为我们从小就被灌输了亚里士多德模型，那时我们还远没有接触数学——柏拉图观点是后天培养出来的品位。
在第二种（柏拉图）模型下，任何物理学最终都归结为一个数学问题，一个拥有无穷智慧的数学家，给他宇宙的基本方程，原则上他就能计算出青蛙视角，也就是，宇宙中会包含怎样的有自我意识的观察者，他们可以感知到什么，他们会发明何种语言来向同类描述他们的感知。换句话说，在图1.7中，树的顶部是“大统一理论”（toe），其公理都是纯数学的，而英语中的假设，是指可以被推导出来，从而是多余的解释。而另一方面，在亚里士多德模型中绝不会有toe的存在，我们终究只是用一些语言表述来解释另一些语言表述——这被称为无限回归问题。
第四层：终极集合
即其他数学结构，具有不同的基本物理方程
假设你认同了柏拉图模型，相信在图1.7的顶部确实存在一个toe——只是我们还没找到正确的方程。那么就会遇到这样一个令人困窘的问题，也是惠勒教授所强调的：为什么是这些特殊的方程，而不是别的。就让我们来探索数学的民主思想，由此得到其他方程所支配的宇宙也同样真是。这就是第四层平行宇宙。不过，我们先要消化另外两个想法：数学结构的概念，以及物理世界也是一个数学结构的观点。
数学结构是什么
很多人认为，数学就是我们在学校里学的一堆用来操纵数字的小技巧。但大多数数学家对他们所研究的领域持有不同观点。他们研究更抽象的物体，例如函数、集合、空间和算符，并试图证明它们之间某种关系的定理。事实上，现代数学的文章如此抽象，以至于你在里面能找到的唯一的数字就是页码。一个十二面体能和复数集合有什么相同之处。尽管数学结构明显过剩，但它们在20世纪显现出惊人的基本统一性：所有数学结构都只是同一个东西——所谓形式系统（for—mal system）的特殊情况。
图1.8
形式系统包括一些抽象的符号，以及操纵它们的规则，具体规定新的符号（称为定理）应该怎样用已有的符号（称为公理）推导出来。这一历史性的进步，是解构主义的一种表现形式，因为它去掉了传统上赋予数学结构的所有意义和解释，只留下它们最根本的抽象关系。结果，现在计算机能够不借助任何关于空间是什么的物理直觉，直接证明几何定理。
图1.8显示了某些最根本的数学结构和它们之间的关系。虽然这棵学科树的延伸是不确定的，但它仍然说明数学结构一点都不模糊。它们就在“那里”，从某个意义上来说数学家发现了它们，而不是创造了它们，沉思的外星文明也会发现同样的结构（不管是由人、计算机，还是外星文明来证明，这个定理都同样成立）。
第四层平行宇宙存在的证据
我们以猜测程度越来越高的顺序描述了四层平行宇宙，那么为什么要相信第四层的存在呢。逻辑上，这主要依赖两个独立的假设：
假设1：物理世界（特别是第四层平行宇宙）是一个数学结构。
假设2：数学民主性：所有数学结构在同一个意义上都在“那里”。
在一篇著名的评论中，魏格纳（1967）写道“数学对自然科学的帮助大得神乎其神”，而“这并没有理性的解释”。这个论点可以被看作是对假设1的支持：数学在描述物理世界上的便利，正是后者本身就是数学结构的自然结果，而我们正逐渐认识到这一点。我们现有物理理论中的许多近似理论很成功，原因在于，简单的数学结构能够较好地近似描述sas怎样感知更复杂的数学结构。换句话说，我们成功的理论并不是模拟物理的数学，而是模拟数学的数学。魏格纳的评论并不是建立在侥幸的巧合基础上，在他提出这个观点的数十年后，自然中更多的数学规则被发现，包括粒子物理的标准模型。
支持假设1的第二个论据就是，抽象数学是如此的一般，以至于任何可用纯形式术语（不依赖模糊的人类语言）定义的toe也必定是数学结构，例如，一个包含一组不同类型的实体（比如，用词语表示）以及它们之间的关系（用附加词语表示）的toe，就是一个集合理论模型，而且我们可以一般地找到它所在的规范体系。
这个论据同样使假设2更令人信服，因为它意味着，任何可能想到的平行宇宙理论都可以在第四层被描述。第四层平行宇宙，被泰格马克（1997）称为“终极集合”，因为它包含了所有的集合，从而终结了平行宇宙的层次，不可能再有第五层。考虑一个数学结构的集合也没有增加新内容，因为它只不过是另一个数学结构。考虑另一个经常被讨论的观点，即，宇宙是一个计算机模拟吗。这个想法常在科幻小说中出现，并且实质上也被相信阐述过。数字计算机的信息内容是一串比特，比如“1001011100111001…”，虽然很长但仍有限，等价于一个很大但有限的整数n用二进制写出来。计算机的信息处理就是将一个记忆态变成另一个的确规则（反复应用），所以在数学上就是一个函数f，反复地将一个整数映射到另一个上去：
ni→f（n）i→f（f（n））i→…
换句话说，即使是最复杂的计算机模拟，也只是一个数学结构的特殊情况，包含在第四层多元宇宙里（顺带一提，迭代连续函数，而不是整数函数，能形成分形）。
假设2的另一个吸引人的特性在于，目前，只有它唯一回答了惠勒教授的问题：为什么是这些特殊的方程，而不是别的。让宇宙随着所有可能方程的曲调而起舞，一劳永逸地解决了微调问题，即使是在基本方程层次：虽然很大数学结构都是死的，而且不包含sas们，不能形成sas们需要的复杂性、稳定性和可预测性，但我们当然以100%的概率住在能支持生命的数学结构中。由于这个选择效应，对问题“到底是什么把活力注入方程，使宇宙能被其描述”的答案，就是“你，sas。”
(本章完)